문제 12정답을 고른 뒤 해설을 펼쳐보세요.
다음 글의 빈칸에 들어갈 말로 가장 적절한 것은?
페르마의 정리는 n이 2보다 큰 자연수일 때 aⁿ ＋bⁿ ＝cⁿ을 만족하는 양의 정수 a, b, c가 존재하지 않는다는 것이다. 그런데 페르마는 이에 대한 증명을 제시하지 않았고, 이를 증명하기 위해 수많은 수학자가 도전하였으나 아무도 성공하지 못했다. 그러다가 1993년 와일스가 마침내 페르마의 정리를 증명하게 되었다. 그는 어떻게 이를 증명했을까?
원래 와일스는 타원 방정식을 연구하고 있었고, 이는 페르마의 정리를 증명하는 문제와는 직접적인 관계가 없어 보였다. 그러던 중, 그는 다니야마와 시무라가 제시한 어떤 과감한 추측에 주목하게 되었고, 이 추측에 대한 연구 성과를 통해 페르마의 정리가 타원 방정식과 연관성이 있다는 사실을 알게 되었다. 다니야마와 시무라의 추측을 활용하여 와일스는 페르마의 정리를 다음과 같이 증명했다. 페르마의 정리가 거짓이라고 가정해 보자. 그렇다면 2보다 큰 어떤 자연수 n에 대해, aⁿ ＋bⁿ ＝cⁿ을 만족하는 양의 정수 a, b, c가 존재할 것이다. 이 가정을 A라고 하자. 그런데 A와 동치인 주장 B가 있다. B는 특정한 종류의 타원 방정식의 해가 존재한다는 것이다. 그런데 이미 ‘□’라는 것이 증명돼 있었다. 그리고 1993년 와일스는 다니야마와 시무라의 추측이 참이라는 것을 증명했다. 따라서 B는 거짓이고, 그것과 동치인 페르마의 정리가 거짓이라는 가정 A도 거짓이다. 이로써 와일스는 페르마의 정리가 참이라는 것을 증명해 낸 것이다.
- ①B가 거짓이라면, A는 거짓이다.정답
- ②다니야마와 시무라의 추측이 참이라면, B는 참이다.정답
- ③다니야마와 시무라의 추측이 거짓이라면, A는 참이다.정답
- ④B가 참이라면, 다니야마와 시무라의 추측이 거짓이다.정답
- ⑤A가 거짓이라면, 다니야마와 시무라의 추측이 거짓이다.정답
정답·해설 펼치기정답·해설 접기
정답: 공식 최종정답 기준 · 검수 방식
정답 근거
다니야마·시무라의 추측을 T라 하면, 글의 구조는 A↔B, T, 그리고 빈칸의 명제로부터 ¬B와 ¬A를 얻는 것이다. ④의 B→¬T를 대우로 바꾸면 T→¬B가 된다. T가 참임을 증명했으므로 ¬B를 얻고, A와 B의 동치에 따라 ¬A를 얻어 원래 정리를 입증한다.
보기별 검토
① ¬B→¬A는 동치 관계에 이미 포함되지만 ¬B 자체를 이끌어 내지 못한다. ② T→B는 오히려 B를 참으로 만든다. ③ ¬T→A에서 T가 참이라는 이유로 A가 거짓이라고 할 수 없다. ⑤ ¬A→¬T는 T와 결합하면 대우에 의해 A를 참으로 만들므로 필요한 방향과 반대이다. 귀류법에서는 부정한 가정이 이미 입증된 명제와 충돌하도록 조건문을 연결하고, 조건문의 역과 대우를 구별해야 한다.